理論解
トーラス(トロイダル・シェル)とは，下図左に示すように，円環を中心軸(ここでは鉛直軸)の回りに回転させた，ドーナツ状の立体である．
 Outline of a torus |
 Forces in a torus under the uniform internal pressure |
上図右に示すように，均等内圧 p を受けるトーラスを考える．この場合，半径 a の円周方向軸力 $N_{\varphi}$ およびその軸方向軸力 $N_{\theta}$ は，Timoshenko (Theory of Plates and Shells) により，次式で与えられている．
\begin{equation*}
N_{\varphi}=\cfrac{p a (r_0 + b)}{2 r_0} \qquad\qquad N_{\theta}=\cfrac{p a}{2}
\end{equation*}
上式より，$N_{\varphi}$ は場所により変化するが，$N_{\theta}$ は，半径 a の円環上で均一な値をとることが分かる． ここで，代表点での$N_{\varphi}$を書き直してみると，
\begin{align*}
&N_{\varphi}=p a \left\{1 + \cfrac{a}{2(b - a)}\right\} & (r_0 = b - a) \\
&N_{\varphi}=p a & (r_0 = b) \\
&N_{\varphi}=p a \left\{1 - \cfrac{a}{2(b + a)}\right\} & (r_0 = b + a)
\end{align*}
となり，円環の内側，すなわち回転軸側 ($r_0 = b - a$) の円周方向応力が大きくなることがわかる． また，半径 a の円環の頂部と底部の円周方向応力は，通常の均等内水圧を受ける半径 a の直線円環の周方向軸力と同じ値となる．
軸対称FEMによる解析
以下に示すトーラスの発生応力を，軸対称FEM解析にて予測した．解析条件は以下のとおり．
| E (MPa) | po | p (MPa) | a (mm) | b (mm) | t (mm) |
|---|---|---|---|---|---|
| 200,000 | 0.3 | 1.0 | 2,000 | 4,000 | 10 |
| 要素数：360 (半径 a の円を中心角 1 度で分割) | |||||
軸対称FEMでは荷重は回転軸に対し 1 rad あたりの荷重を入力するようになっている．水圧についても例外ではなく，定義に忠実に荷重を作成・入力する必要があることに注意．
 |
Horizontal axis in following graph indicates the angles measured from the left edge of the torus ring in clockwise direction. 0 means outer edge of the left ring, 90 means top, 180 means inner edge of the left ring. |
 Deflection mode |
 Stress distribution |
| Result of a torus stress analysis | |
|---|---|
解析結果と Timoshenko の解との比較を下表に示す．
| Location | FEM | Timoshenko | ||
|---|---|---|---|---|
| (φ) | σφ | σθ | σφ | σθ |
| 0 (r=b+a) | 166.59 | 99.54 | 166.66 | 100.00 |
| 90 (r=b) | 198.43 | 105.62 | 200.00 | 100.00 |
| 180 (r=b-a) | 300.54 | 99.55 | 300.00 | 100.00 |
| 応力の単位は MPa | ||||
プログラム
| Filename | Description |
|---|---|
| a_f90.txt | 実行用シェルスクリプト |
| f90_toroidal.f90 | トーラスFEM解析用データ作成プログラム |
| f90_FEM_ASNT.f90 | 軸対称FEM解析プログラム |
| inp_fem_torus.txt | 軸対称FEM解析用入力データ |
| a_gmt_gra.txt | FEM解析結果図化用GMTコマンド |
| a_gmt_torus.txt | トーラス説明図作成用GMTコマンド |
| gpl_torus.txt | トーラス立体図作成用スクリプト |
Fortranプログラムの実行方法は以下のとおり．
gfortran -o f90_toroidal f90_toroidal.f90 gfortran -o f90_FEM_ASNT f90_FEM_ASNT.f90 ./f90_toroidal > inp_fem_torus.txt ./f90_FEM_ASNT inp_fem_torus.txt out_fem_torus.csv